Paradoks dobrej passy w zakładach bukmacherskich

72
zakłady bukmacherskie - bukmacher
  • Badanie ilościowe błędu doboru próbki
  • Dobra passa w konkursie rzutów za trzy punkty w Meczu Gwiazd NBA
  • Paradoks dobrej passy: intuicja a analiza

W sporcie panuje powszechne przekonanie o istnieniu siły rozpędu lub tzw. dobrej passy — wbrew badaniom, które podważają tę koncepcję. Czy obstawiający powinni odrzucić koncepcję dobrej formy zawodnika? Ten artykuł dowodzi, że może to być błędem.

Kiedy w 1985 r. Michael Jordan otrzymał tytuł najlepszego debiutanta NBA, w czasopiśmie Journal of Cognitive Psychology opublikowano artykuł mający na celu obalenie powszechnie panującego poglądu, według którego koszykarze wykazują się okresowymi wzrostami skuteczności — większymi niż sugerowałaby to przypadkowość.

Autorzy tego artykułu (Gilovich, Vallone i Tversky, dalej zwani w skrócie GVT) doszli do wniosku, że powszechne przekonanie o tym, że koszykarze wykazują tendencję do siły rozpędu w oddawanych rzutach jest „poznawczą iluzją”. Zjawisko to stało się znane jako „paradoks dobrej passy” i wykazuje podobieństwo do bardziej ogólnego „paradoksu hazardzisty”. Zaobserwowany błąd został wyjaśniony jako ludzkie pragnienie poszukiwania wzorów i dopatrywania się znaczenia w przypadkowości.

Wiara w skuteczność, czy też dobrą passę, w sporcie z pewnością nie ogranicza się wyłącznie do koszykówki. Określenia takie jak „być w formie”, „być na fali”, „mieć dobrą passę” są nieprzerwanie stosowane w potocznych komentarzach i analizach dotyczących licznych dyscyplin sportowych.

Dzieje się tak bez względu na wnioski grupy GVT i późniejszej publikacji wielu artykułów na temat paradoksu dobrej passy. Po dziś dzień wydarzeniom sportowym towarzyszy komentator, który odwołuje się do tego typu pojęć, sugerując pewną siłę rozpędu lub odchylenia od losowości.

Dlaczego więc komentatorzy sportowi i kibice już od ponad 30 lat wciąż odnoszą się do tego zjawiska w sporcie? Nowe badania wskazują, że przekonanie o istnieniu siły rozpędu było prawdopodobnie słuszne od samego początku.

W artykule zatytułowanym „Surprised by the Gambler’s and Hot Hand Fallacies? A Truth in the Law of Small Numbers” Miller i Sanjurjo twierdzili, że w badaniu przeprowadzonym przez GVT koszykarze rzeczywiście wykazywali się dobrą passą, która jako paradoks jest sama w sobie błędem logicznym. Przyczyną błędnych wyników badania GVT z 1985 r. jest prosty, ale istotny błąd doboru próbki. Najlepiej wyjaśnić to na przykładzie.

Rozważmy pięciokrotny rzut monetą: Zwracamy uwagę jedynie na wyniku rzutu, który następuje bezpośrednio po wyrzucaniu kolejno dwóch orłów. Jaki jest oczekiwany udział zanotowanych orłów po pięciu wykonanych rzutach? 50%? Mniej lub więcej niż 50%?

Można by przypuszczać, podobnie jak autorzy GVT, że w przypadku rzutu monetą prawdopodobieństwo powinno wynosić 50%. Jest jednak mniejsze. W przypadku pięciokrotnego rzutu monetą można uzyskać 32 możliwe wyniki. Wyszczególniono je w kolumnie nr 2 znajdującej się poniżej.

Paradoks dobrej passy

W 16 seriach na 32 możliwych sekwencji wypadają co najmniej dwa orły z rzędu przed 5 rzutem. W 8 seriach na 16 wypadło 0% orłów, w 3 – 50% orłów, w 1 – 67% orłów i w 4 – 100% orłów. Biorąc pod uwagę fakt, że każda z 16 sekwencji jest równie prawdopodobna, oczekiwane prawdopodobieństwo wystąpienia orła po wyrzuceniu dwóch orłów z rzędu wynosi zaledwie 38,5%.

Paradoks dobrej passy

Wynik ten wydaje się sprzeczny z intuicją i doprowadził do błędów w badaniach dotyczących „dobrej passy” zawartych w artykule opracowanym przez grupę GVT i późniejszych. Aby wizualnie zrozumieć na czym polega błąd, rozważymy prosty scenariusz, w którym dowiemy się, jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch orłów z rzędu. Poniższa tabela przedstawia tę wartość oczekiwaną dla aż 500 rzutów monetą w oparciu o 5000 przeprowadzonych symulacji.

dobra passa

Badanie ilościowe błędu doboru próbki

Błąd można określić jako pionową odległość między pomarańczową linią a rzeczywistą bezwarunkową wartością oczekiwaną 50%. Jeśli moneta zostanie rzucona zaledwie 10 razy, szansa na to, że po wyrzuceniu orła wypadnie kolejny orzeł wynosi 44,5%. W związku z tym błąd określa się na 5,5 punktu procentowego.

W kontekście sportów, rzadko słyszy się o dobrej passie po wykonaniu tylko jednego rzutu lub zdobyciu jednego punktu. Poniższy wykres przedstawia tendencję do zdobywania punktów po serii kolejnych sukcesów „k” (przy rzeczywistym 50% prawdopodobieństwie). Ponownie użyliśmy 5000 symulacji.

dobra passa

Widzimy, że błąd wzrasta wraz z wydłużającym się pasmem wygranych i maleje wraz z liczbą podejmowanych prób. W swoich badaniach autorzy GVT opracowali kontrolowany eksperyment rzutów do kosza, w którym 25 studentów trenujących koszykówkę wykonało po 100 rzutów. Otrzymane wartości procentowe odnotowywano z uwzględnieniem serii „k” celnych lub chybionych rzutów (k = 1,2,3).

Miejsce oddawania rzutu przez każdego gracza wyznaczono tak, aby uzyskać skuteczność na poziomie 50%. Badacze GVT porównali wartości procentowe rzutów z serią celnie oddanych rzutów, a następnie z serią chybionych rzutów. Ich hipoteza sprowadzała się do tego, że prawdopodobieństwo celnych k rzutów było równe prawdopodobieństwu wystąpienia k chybionych rzutów.

Wcześniej pisaliśmy jednak, że te wartości procentowe nie powinny być takie same. Zakładając, że prawdopodobieństwo trafienia do kosza w przypadku 100 rzutów wynosi 50%, prawdopodobieństwo powtórzenia wyniku po 3 celnych rzutów z rzędu wynosi ok. 46%. Analogicznie prawdopodobieństwo powtórzenia wyniku po 3 chybionych rzutów z rzędu wynosi ok. 54%.

Wielkość błędu sprawia, że po jego skorygowaniu wnioski autorów GVT dotyczące braku dobrej passy mogą być zgoła odmienne. Zdecydowana większość zawodników rzeczywiście wykazywała się dobrą passą. W kontekście sportu prawdopodobieństwo jakiegokolwiek „sukcesu” ma niewielkie szanse utrzymać się na poziomie 50%. Na przykład w NBA średni odsetek rzutów wolnych wynosi około 75%.  Aby zrozumieć, w jaki sposób błąd zmienia się w zależności od prawdopodobieństwa sukcesu, poniższy wykres ukazuje szacunkowe odchylenie w przypadku 75% prawdopodobieństwa sukcesu dla 5000 symulacji.

dobra passa

Porównując oba wykresy widać, że odchylenie maleje wraz ze wzrostem prawdopodobieństwa sukcesu. Na przykład w przypadku 100 rzutów prawdopodobieństwo sukcesu po 5 trafieniach — przy prawdopodobieństwie bezwarunkowym 50% i 75% — wynosi 38% i 72%. Odpowiada to odchyleniu wynoszącemu odpowiednio 12% (50%–38%) i 3% (75%–72%).

Dobra passa w konkursie rzutów za trzy punkty w Meczu Gwiazd NBA

Teraz sprawdzimy, czy zawodnikom biorącym udział czterech ostatnich konkursach rzutów za trzy punkty w Meczu Gwiazd NBA (2015–2018) towarzyszył paradoks dobrej passy. Tego typu konkurs jest odpowiedni do analizy dobrej passy ze względu na panujące warunki i miejsce oddawania rzutów, które są identyczne i nie podlegają presji obrony ze strony przeciwnika. Format pozwala zawodnikom na oddanie 25 rzutów w jednej rundzie z 5 ustalonych pozycji wzdłuż linii rzutu za trzy punkty.

W ciągu czterech lat rywalizowało ze sobą 46 zawodników, którzy oddali w sumie 1150 rzutów, z czego 54% było celnymi. Poniższa tabela pokazuje procentowe prawdopodobieństwo zaliczenia kosza przez każdego zawodnika odnotowane po jednym celnym rzucie i jednym chybionym oraz dwóch celnych rzutach i dwóch chybionych.

Statystyki dotyczące konkursu rzutów za trzy punkty w NBA

dobra passa

Odsetek rzutów jest większy od średniej po jednym lub dwóch celnych rzutach oraz mniejszy od średniej po jednym lub dwóch chybionych rzutach.

Kolumna nr 11 pokazuje różnicę w wartościach procentowych po oddaniu celnych lub chybionych rzutów (% celnych rzutów po trafieniu do kosza minus % celnych rzutów po chybieniu do kosza). Autorzy GVT wykorzystali tę różnicę w celu zbadania efektu dobrej passy.

Korzystając z nieprzetworzonych danych liczbowych (podobnie jak GVT), możemy zauważyć, że w czterech przeprowadzonych konkursach 24 zawodników uzyskało pozytywny wynik, 21 negatywny, a oddanie jednego celnego rzutu skutkowało poprawą skuteczności zawodnika o średnio 10 punktów procentowych. Teraz wiemy jednak o istnieniu błędu doboru próbki i musimy go uwzględnić.

Jeśli przyjmiemy elementarne założenie, że prawdopodobieństwo trafienia do kosza przez zawodnika wynosi średnio 54%, prawdopodobieństwo dwóch celnych rzutów z kolei wynosi ok. 52%. Analogicznie prawdopodobieństwo celnego rzutu po zaliczeniu pudła wynosi ok. 56%. W związku z tym do kolumny nr 11 możemy dodać 4%, aby uwzględnić błąd doboru próbki.

Po dokonaniu korekty interpretacja danych statystycznych może teraz wyglądać następująco: dodatnia wartość procentowa oznacza większą poprawę skuteczności zawodnika po celnym rzucie niż po rzucie chybionym. W takim wypadku 32 zawodników osiągnęło pozytywny rezultat, a 14 negatywny. Odsetek punktów zdobytych przez zawodnika był średnio o 14 punktów procentowych wyższy po wcześniejszym trafieniu do kosza. Stanowi to mocny dowód na istnienie efektu dobrej passy.

Jeśli dokonamy odpowiednich korekt dla kolumny nr 12 (% celnych rzutów po dwóch trafieniach do kosza minus % celnych rzutów po dwóch chybieniach do kosza), 30 zawodników wykazuje się dobrą passą (wartością pozytywną). Natomiast w razie nieuwzględnienia błędu liczba zawodników wynosi 19. Średni wzrost odsetku celnych rzutów w przypadku dwóch trafień do kosza wynosi 29%, co ponownie stanowi mocny dowód na istnienie efektu dobrej passy w ostatnich konkursach rzutów za trzy punkty w konkursach NBA.

Intuicja a analiza

Chociaż paradoks dobrej passy jest znany od ponad 30 lat, kibice i komentatorzy sportowi uważają, że jest to jedynie stereotyp – w ich przekonaniu istnieje za to zjawisko siły rozpędu. Określenia takie jak „passa”, „dobre zgranie”, „być na fali” nigdy nie opuściły potocznego języka sportowego, co sugeruje, że dla zrozumienia uzyskanych wyników sportowych intuicja i instynkt mogą być równie istotne jak analiza statystyczna. Wynika to z faktu, że żadne z tych narzędzi nie jest pozbawione błędu.

Mimo że pojęcie rozpędu w sporcie zostało dopiero niedawno potwierdzone w środowisku akademickim, bukmacherzy od dawna zdawali sobie sprawę z jego istnienia. W zależności od dyscypliny sportu, drużyny i zawodników modele wyceny kursów na ogół mają wbudowany element siły rozpędu.

Obstawiający może osiągać zyski, jeśli jest w stanie określić z większą dozą precyzji, która drużyna lub zawodnik ma szansę pokonać domniemane prawdopodobieństwo odzwierciedlone w kursach. Nie ma tutaj znaczenia, czy w swoich przewidywaniach kierował się analizą statystyczną czy też instynktem.