Jak często następuje zmiana na prowadzeniu w meczu?

175
zakłady bukmacherskie - bukmacher

Jak często następuje zmiana na prowadzeniu w meczu?

W dowolnym momencie meczu albo jedna z drużyn jest na prowadzeniu, albo jest remis, a prowadzenie jest raz po jednej, raz po drugiej stronie. Zastanawiałeś się kiedyś, jak często następuje zmiana na prowadzeniu? Podpowiedź: nie stawiaj pieniędzy na intuicję. Czytaj dalej, jeśli chcesz dowiedzieć się dlaczego.

Od wzięcia ze sobą parasola po obstawianie zakładu – codziennie podejmujemy decyzje w oparciu o nasze rozumienie prawdopodobieństwa. Jednak nasz instynkt często zwodzi nas na manowce, a najlepszym sposobem powrotu na właściwą drogę jest odwołanie się do statystyk.

Uwaga: pułapka mentalna ujawniona w tym artykule jest tak sprzeczna z naszą intuicją, że nawet najbardziej wytrawni statystycy byli zszokowani. Zanim jednak przejdziemy do teorii, sprawdźmy nasze instynkty.

Dwóch snookerzystów o identycznym poziomie umiejętności gra przeciwko sobie. Ile razy następuje zmiana na prowadzeniu? Czy Twoim zdaniem im więcej frame’ów, tym więcej czy tym mniej zmian na pozycji lidera?

Ponieważ zakładamy, że obaj gracze prezentują identyczny poziom umiejętności, możemy użyć najbardziej znanego sposobu randomizacji, tzn. rzutu monetą, żeby sprawdzić, jak zawodnicy zmieniają się na prowadzeniu – jednemu z nich przypisujemy orła, drugiemu – reszkę. Żeby mogła nastąpić zmiana na prowadzeniu, zawodnik przegrywający musi najpierw odrobić straty. Zacznijmy więc od tego, ile razy wynik się wyrównuje.

Jeśli rzucimy monetą sześć razy, intuicja podpowiada nam, że sześć orłów z rzędu to mało prawdopodobny wynik. Sześć rzutów monetą oznacza 64 możliwe kombinacje wyników. Prawdopodobieństwo uzyskania sześciu identycznych wyników – orłów albo reszek – wynosi 2/64, czyli ok. 3% (1 x ½ x ½ x ½ x ½ x ½).

Rozumiemy także, że choć szansa na każdy z wyników wynosi 50% nie znaczy to, że w próbie sześciu rzutów na pewno uzyskamy trzy reszki i trzy orły.

Rzeczywiste prawdopodobieństwo równej liczby reszek i orłów przy sześciu rzutach wynosi 20/64 (ok. 31%) czyli jeden do trzech. Czy to znaczy, że jeśli trzykrotnie powtórzymy eksperyment z sześcioma rzutami, mamy gwarancję, że przynajmniej raz otrzymamy równą liczbę orłów i reszek? I tym razem – niekoniecznie.

Obliczanie prawdopodobieństwa równego wyniku

Jaka jest zatem szansa wyrzucenia takiej samej liczby orłów i reszek dla różnych serii rzutów? W każdej chwili mamy przewagę reszki lub orła albo równą liczbę obu wyników.  Aby uzyskać remis w dowolnej serii, całkowita liczba rzutów musi być parzysta.

Najczęściej myślimy, że wraz ze zwiększaniem liczby rzutów (2, 4, 6, 8 itd.) prawdopodobieństwo remisu rośnie. Jest to intuicyjne zastosowanie prawa średnich, powszechnego przekonania, że wraz ze zwiększaniem się próbki, wynik zbliża się do średniej dla całej populacji lub, mówiąc prościej, jest to powód, dla którego po szeregu dni deszczowych spodziewamy się dnia słonecznego.

Ze statystycznego punktu widzenia jest to nie tyle nie do końca prawdziwe, co zupełnie i całkowicie błędne.

W swojej książce na temat prawdopodobieństwa (Taking Chances) John Haig analizuje prawdopodobieństwo równej liczby wyników w dowolnym momencie serii niezależnych rzutów.

Prawdopodobieństwo równej liczby reszek i orłów
Liczba rzutów 2 4 6 8 10
Szansa równej liczby reszek i orłów 1/2 3/8 5/16 35/128 63/256
Prawdopodobieństwo 50% 37,5% 31,25% 27,34% 24,6%

Wnioski wyciągane na podstawie liczb są tak sprzeczne z intuicją, że nawet najbardziej matematycznie uzdolnieni gracze muszą dwa razy spojrzeć na dane, żeby w to uwierzyć. Z danych wynika, że wraz ze wzrostem liczby rzutów prawdopodobieństwo wyrównania wyniku spada.

Jeśli rzucimy 20 razy, w którym momencie powinniśmy spodziewać się ostatniego wyrównania liczby orłów i reszek? Może to nastąpić przy 2, 4, 6…, 16, 18 lub 20 rzucie. Łącznie do wyboru jest 11 odpowiedzi. Na co należy zatem stawiać? Ostatni rzut, rzut z początku, a może środkowy?

Wiele osób intuicyjnie stawiałoby na środek, ale amerykański profesor statystyki David Blackwell wywnioskował, że po obu stronach środka występuje pełna symetria. Szansa, że ostatni raz liczba reszek i orłów będzie równa przy 16 rzutach jest dokładnie taka sama co przy 4 rzutach. Największe szanse mają wyniki 0 i 20, a prawdopodobieństwo to spadawraz z przesuwaniem się do środka.

Szansa ostatniego wystąpienia równego wyniku w różnych momentach serii 20 rzutów monetą
Ostatni remis 0 lub 20 2 lub 18 4 lub 16 6 lub 14 8 lub 12 10
Prawdopodobieństwo 17,62% 9,27% 7,36% 6,55% 6,17% 6,06%

Innymi słowy, jeśli remis nie zdarzy się na początku, może minąć dużo czasu, zanim nastąpi.

Jak często następuje zmiana na prowadzeniu?

Jaki wpływ mają powyższe wnioski na częstotliwość zmiany na prowadzeniu? Poniższa tabela przedstawia prawdopodobieństwo wystąpienia poszczególnej liczby zmian na prowadzeniu pomiędzy reszką i orłem w serii 101 rzutów.

Liczba zmian na prowadzeniu Prawdopodobieństwo
0 15,8%
1 15,2%
2 14%
3 12,5%
4 10,7%
5 8,8%
6 6,9%
7 5,2%
8 3,8%
9 2,7%
10 1,8%
11 2,6%

W 68% przypadków liczba zmian na prowadzeniu na przekracza 4. Od 5 do 9 zmian występuje w 27% przypadków, a 10 lub więcej – w 4–5%.

Co ciekawe, w połowie przypadków wynik nigdy nie wyrównał się w drugiej połowie serii, co znaczy że ten wynik, który był na prowadzeniu w połowie serii był na prowadzeniu przez całą drugą połowę.

Stosowanie wiedzy o rzucie monetą do zakładów sportowych

Miejmy nadzieję, że związek rzutów monetą z zakładami sportowymi jest jasny. Eksperyment ten pokazuje nam, że w przypadku równych przeciwników zwykle występują długie okresy bez wyrównania, a następnie szereg wyrównań blisko siebie. Remisy są bardziej prawdopodobne na samym początku lub samym końcu meczu i mniej prawdopodobne w środku.

Haigh wyliczył, że w 50% meczów w snookera pomiędzy graczami na tym samym poziomie zawodnik, który prowadził po 16 frame’ach, pozostawał na prowadzeniu przez cały czas do frame’a 32. Czy możemy tę samą logikę zastosować w piłce nożnej? Choć Leicester City jest na dobrej drodze, aby potwierdzić tę teorię, liga składa się z wielu drużyn na różnych poziomach. Dlatego też, zanim będziemy mogli z pewnością stwierdzić zależność, musimy dokładniej zbadać sprawę.

Nie każdy wynik jest tak bezsprzeczny jak w przypadku rzutu monetą, ponieważ należy wziąć pod uwagę szereg czynników dodatkowych, np. awersję do porażki, kiedy mamy tendencję do tego, że bardziej staramy się w sytuacjach, gdy staramy się uniknąć porażki, niż w sytuacjach, gdy walczymy o zwycięstwo.Eksperyment z rzutem monetą jest czysto teoretyczny, choć ma on niebagatelne znaczenie dla graczy obstawiających wydarzenia sportowe.