Ocena umiejętności bukmacherskich: twierdzenie Bayesa a metoda częstościowa

29
zakłady bukmacherskie - bukmacher

Ocena umiejętności bukmacherskich: twierdzenie Bayesa a metoda częstościowa

  • W jaki sposób gracze mogą ocenić swój poziom umiejętności?
  • Różnica między podejściem bayesowskim a częstościowym.
  • Poziomy losowości i oczekiwane prawdopodobieństwa dotyczące umiejętności.

Upraszczając, zarabianie na zakładach wymaga dwóch elementów. Umiejętności i szczęścia. Wielu obstawiających lekceważy jednak wpływ zarówno jednego, jak i drugiego. W tym artykule wyjaśniono, dlaczego tak ważna jest znajomość różnych metod oceny umiejętności bukmacherskich oraz jak zastosowane podejście przekłada się na osiągane przez gracza wyniki.

W dążeniu do trafniejszych prognoz przydatne może okazać się twierdzenie Bayesa. Poza tym pozwala ono ustalić, na ile dobrze potrafimy przeprowadzać prognozy oraz odnajdywać dodatnią wartość oczekiwaną. Poprzednio badałem już jak ocenić jakość historii zakładów za pomocą podejścia częstościowego (testu t). W tym artykule porównamy i zestawimy ze sobą dwie metody.

Siła przekonań

W teorii prawdopodobieństwa twierdzenie Bayesa opisuje, jakie są szanse zajścia danego zdarzenia pod warunkiem zajścia innego zdarzenia. Załóżmy, że w mojej opinii prawdopodobieństwo, że jestem wykwalifikowanym graczem potrafiącym dostrzec prawdziwą wartość zakładu wynosi 50%. Jaki wpływ na moją opinię o swoich umiejętnościach będzie miał kolejny wygrany zakład? Innymi słowy, w jaki sposób wygrana wpłynie na prawdopodobieństwo, że jestem wykwalifikowanym graczem?

Twierdzenie Bayesa interpretuje prawdopodobieństwo jako „stopień przekonania” w istnienie danej hipotezy. Ponadto w sposób matematyczny wyjaśnia związek między początkowym stopniem przekonania, czyli przed poznaniem dowodów (prawdopodobieństwo wstępne) oraz stopniem przekonania po uwzględnieniu dowodów (prawdopodobieństwo końcowe). Zapis wygląda następująco:

{equation} – P(A|B)= P(A)*P(B|A)/P(B)

W przytoczonym przykładzie:

P(A) = prawdopodobieństwo wstępne zakładające, że posiadam odpowiednie umiejętności

P(B) = prawdopodobieństwo wstępne zakładające, że wygram zakład

P(B|A) = prawdopodobieństwo wygrania zakładu pod warunkiem, że posiadam odpowiednie umiejętności

P(A|B) = prawdopodobieństwo, że posiadam odpowiednie umiejętności pod warunkiem wygrania przeze mnie zakładu

Posłużmy się przykładem. Załóżmy, że wykwalifikowany gracz to osoba, która jest w stanie osiągać stały zwrot z inwestycji w wysokości 110%. Oznaczałoby to, że w przypadku zakładów o równych stawkach 55 na 100 byłoby zwycięskimi. Stąd też P(B|A), czyli prawdopodobieństwo wygrania zakładu pod warunkiem, że posiadam odpowiednie umiejętności, wynosi 55%.

Z kolei prawdopodobieństwo wygrania zakładu przez niedoświadczonego gracza wynosi (B) = 50%. Przyjmijmy jednak, że według mojego wstępnego przekonania prawdopodobieństwo, iż jestem wykwalifikowanym graczem wynosi 50-50, czyli {P(A) = 50%}. W takim przypadku wartość P(B) wynosi 52,5% (połowa między 50% a 55%).

“Najlepsi handicapperzy z branży zazwyczaj osiągają sukcesy w około 57% zakładów. Po uwzględnieniu marży bukmachera, przekłada się to na około 110% zwrot z inwestycji.”

Jeśli wygram zakład, zastosowanie tych danych w twierdzeniu Bayesa będzie oznaczać, że prawdopodobieństwo wstępne P(A|B) będzie równe 52,38%. Każdy kolejny wygrany zakład przyczynia się do wzrostu prawdopodobieństwa, iż jestem wykwalifikowanym graczem.

Twierdzenie Bayesa można stosować wielokrotnie. Ponieważ wygrałem pierwszy zakład, a tym samym wzrosło prawdopodobieństwo posiadania przez mnie umiejętności wykwalifikowanego gracza, obstawiam kolejny. Prawdopodobieństwo końcowe obliczone w pierwszym kroku staje się teraz nowym prawdopodobieństwem wstępnym hipotezy.

Nowe prawdopodobieństwo wstępne dotyczące umiejętności gracza uzależnione będzie od wygrania lub przegrania następnego zakładu. Jeśli wygram, prawdopodobieństwo, że jestem wytrawnym graczem wzrośnie, natomiast jeśli przegram, zmaleje. Bazując na tym przykładzie, możemy stwierdzić, że wygrany zakład spowoduje wzrost prawdopodobieństwa, iż jestem zdolnym graczem do 54,75%.

Proces ten można powtarzać bez końca, a każde kolejne zaktualizowane prawdopodobieństwo warunkowe mieści się w zakresie od 0% do 100%. Powyższą symulację przeprowadziłem 1000 razy, co oznacza, że postawiłem 1000 zakładów. Poniższy wykres przedstawia historię zakładów (niebieska linia) wraz z prawdopodobieństwem Bayesa, które zakłada, że każdy kolejny zakład potwierdza moje wysokie umiejętności bukmacherskie (czerwona linia).

Ocena umiejętności bukmacherskich

W bayesowskiej interpretacji prawdopodobieństwa problem polega na tym, że wymaga ona silnego przekonania o istnieniu danego zdarzenia lub sytuacji. Ale czy możemy w ogóle mówić o takiej ugruntowanej pewności, oceniając prawdopodobieństwo posiadania umiejętności bukmacherskich? Zastosowana w tym przykładzie wartość 50% ma charakter czysto uznaniowy i opiera się na zwykłych domysłach. Oto, co stanie się, jeśli zmienię początkową wartość prawdopodobieństwa wstępnego na 1%.

Ocena umiejętności bukmacherskich

Co więcej, w tym kontekście znaczenie przymiotnika wykwalifikowany jest całkowicie arbitralne. Z pewnością można przyjąć, że jeśli gracz potrafi utrzymać poziom 105% zwrotu z inwestycji dla ponad 10 000 zakładów, to posiada wysokie kwalifikacje. Przeczytaj o prawie małych liczb, aby dowiedzieć się, dlaczego rozmiar próby ma znaczenie. Biorąc pod uwagę zaktualizowaną wartość P(A), trudno jest również jednoznacznie zdefiniować P(B) dla każdego powtórzonego kroku.

W przedstawionym przeze mnie modelu Bayesa założyłem istnienie związku liniowego. Oznacza to, że jeśli P(A) = 0%/20%/40%/60%/80%/100%, to P(B) = 50%/51%/52%/53%/54%/55%. Choć zdaję sobie jednocześnie sprawę, że słuszność takiego założenia może być kwestionowana. Jednak skoro w przypadku pojedynczego zakładu prawdopodobieństwo wygranej wynosi 52,5% i oznacza wykwalifikowanego gracza (choć nie tak kompetentnego, jak na poziomie 55%), to tak naprawdę mierzymy tutaj poziom umiejętności, a nie ich prawdopodobieństwo posiadania.

Niemniej jednak, graficzne przedstawienie zmiany prawdopodobieństwa Bayesa stanowi pomiar prawdopodobieństwa (lub siły) uzyskiwania przez gracza stałego zysku, a także określa zmiany zachodzące wraz z upływem czasu.

Poziomy losowości

Podejście Bayesa koncentruje się na prawdopodobieństwie postawionej hipotezy (zakładającej, że jestem wykwalifikowanym graczem) z uwzględnieniem ustalonego zbioru danych (zyski i straty). Natomiast podejście częstościowe koncentruje się na prawdopodobieństwie (lub częstotliwości) wystąpienia danych z uwzględnieniem konkretnej hipotezy. Tym razem zakładamy, że dane są przypadkowe, ale hipoteza jest stała. Co oznacza, że wysoki poziom umiejętności bukmacherskich jest prawdziwy (100% prawdopodobieństwo) lub fałszywy (0% prawdopodobieństwo).

“Jeśli początkowe prawdopodobieństwo wysokich umiejętności bukmacherskich będzie w granicach 1%, to po 1000 zakładach wzrośnie do zaledwie 20%.”

W podejściu częstościowym zazwyczaj zaczyna się od przyjęcia hipotezy zerowej, która w tym wypadku brzmi następująco: nie jestem wykwalifikowanym graczem, a moje osiągnięcia w dziedzinie zakładów są konsekwencją szczęścia. Następnie podejmuje się próbę obliczenia prawdopodobieństwa (zwanego zwykle wartością p) za pomocą pewnego narzędzia statystycznego. Służy to stwierdzeniu, czy dostępne dane, takie jak historia zysków i strat, mogłaby się zdarzyć przy założeniu, że hipoteza zerowa jest prawdziwa.

Na końcu porównuje się prawdopodobieństwo z wartością istotną statystycznie (czasem nazywaną wartością α). W ten sposób, jeśli p < α (zazwyczaj 5% lub 1%), hipoteza zerowa jest odrzucana na rzecz prawdziwej.

W jednym z poprzednich artykułów poświęconych zakładom bukmacherskim analizowałem wynik t — wartość statystyczną, której nazwa pochodzi od testu t-Studenta. Przy założeniu, że kursy są bez marży wynik t można w przybliżeniu określić następująco:

gdzie: n = liczba zakładów, r = zwrot z inwestycji (wyrażony jako wartość dziesiętna) oraz o = średnie kursy dziesiętne. Wynik t przelicza się na wartość p za pomocą tabel statystycznych lub kalkulatora internetowego. Można też skorzystać z funkcji ROZKAD.T w programie Excel. Sprawdźmy, jak będzie to wyglądać w odniesieniu do naszej przykładowej historii zakładów.

Poniższy wykres porównuje dwa elementy. Pierwotne szeregi czasowe zmieniającego się prawdopodobieństwa Bayesa, w którym zakładamy, że jestem wykwalifikowanym graczem przy prawdopodobieństwie wstępnym o wartości 50% (czerwona linia), oraz zmianę częstościowej wartości p, w której przyjmujemy, że przy braku umiejętności prawdopodobieństwo osiągnięcia sukcesu jest dziełem przypadku (zielona linia). W tym celu korzystamy z dwustronnego testu t bazującego na pojedynczej próbie.

Ocena umiejętności bukmacherskich

Pod względem jakościowym obie linie stanowią względem siebie przeciwieństwo, co jest raczej wynikiem działania szczęścia niż czegokolwiek innego. Nie należy jednak kwestionować stwierdzenia, iż wartość p mierzy prawdopodobieństwo braku umiejętności, a tym samym, że 1-p jest równe prawdopodobieństwu ich posiadania.

“Zarówno analiza Bayesa, jak i podejście częstościowe powinny uświadomić graczom, że wypracowanie stabilnych zysków jest długotrwałym procesem.”

5% prawdopodobieństwo, że historia zysków i strat jest wynikiem przypadku, to nie to samo, co 95% prawdopodobieństwo, że jest rezultatem posiadanych umiejętności bukmacherskich. Oznacza to po prostu, iż przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej, według której wygrane i przegrane w zakładach są dziełem przypadku, zaobserwowane zdarzenie powinno wystąpić w 5% przypadków.

Słabą stroną metody częstościowej jest traktowanie przez nią prawdy za wartość bezwzględną. Podejście Bayesa stanowi w tym względzie przeciwieństwo, ponieważ domyślnie postrzega prawdę jako wartość probabilistyczną, tymczasową i zawsze możliwą do podważenia. Pomimo tych niedoskonałości testowanie hipotez metodą częstości stanowi użyteczne narzędzie do analizy historii zakładów oraz znaczenia szczęścia.

Jak wypada model częstościowy względem modelu Bayesa, który przyjmuje, że wstępne przekonanie o wysokich umiejętnościach bukmacherskich gracza mieści się w granicach 1% prawdopodobieństwa (a nie 50%)?

Tym razem oczywistym jest, iż test t skłania nas do większej wiary w swoje umiejętności typera niż podejście bayesowskie, które z kolei jest o wiele bardziej zachowawcze.

To dodatkowo podkreśla, jak bardzo prawdopodobieństwo bayesowskie jest wrażliwe na początkowe przekonanie. Po prawie 700 obstawionych zakładach test t wskazuje, że dana historia zakładów jest tylko w 3% kwestią szczęścia. Natomiast twierdzenie Bayesa sugeruje, że jest mniej niż 10% szans na to, że jesteśmy wystarczająco wykwalifikowani, aby zapewnić sobie długoterminowy zwrot z inwestycji w wysokości 110%.

Sam nie jestem graczem skłonnym do ryzyka, dlatego skłaniałbym się ku bardziej zachowawczemu podejściu do wiary w swoje zdolności. Oznacza to, że o ile nie mam wystarczająco dobrego powodu, żeby w nie wątpić, to zawsze powinienem zacząć od założenia, że mam niewielkie lub zerowe umiejętności.

Oczekiwane prawdopodobieństwo dotyczące umiejętności

Powyższa analiza przedstawia tylko jeden przypadkowy przykład szeregów czasowych zakładów z uwzględnieniem hipotetycznego zwrotu z inwestycji w wysokości 110%. W trosce o czytelną prezentację danych celowo wybrałem taką historię zakładów, która pozwoliła mi przekazać omawiane zagadnienia w sposób możliwie najbardziej zrozumiały.

Aby uzyskać bardziej szczegółowy obraz przewidywań, czyli najczęściej obserwowanych wyników, model powinien być powtarzany wielokrotnie. Ci, którzy poznali już dział przydatnych informacji o zakładach w Pinnacle, wiedzą, że możemy to zrobić za pomocą symulacji metodą Monte Carlo.

Poniższy wykres przedstawia wyniki symulacji Monte Carlo przeprowadzonej 10 000 razy z uwzględnieniem zmieniającego się prawdopodobieństwa Bayesa zakładającego, że jestem wykwalifikowanym graczem dla dziesięciu hipotetycznych odsetek zwycięstw: od 51% do 60% przy zachowanych 1% odstępach (co w przypadku kursów bez marży odpowiada przedziałowi między 102% do 120% wartości oczekiwanej przy odstępach 2%).

Krzywe powstały dzięki obliczeniu mediany dla prawdopodobieństwa Bayesa po każdym kolejnym postawionym zakładzie w ramach historii 1000 zakładów. Warto zaznaczyć, że miara mediany lepiej ilustruje zagadnienie niż średnia, która uwzględnia odchylenia zniekształcające interpretację wyników.

Przyjmuje się, że początkowa bazowa wartość przekonania o moich umiejętnościach jako gracza {p(A)} wynosi 1%. Nie ulega wątpliwości, że im wyższy hipotetyczny odsetek zwycięstw (i wartość oczekiwana), tym szybciej zostanie osiągnięte 100% prawdopodobieństwo zakładające, że jestem wykwalifikowanym graczem. Im ciemniejsza krzywa, tym wyższy hipotetyczny odsetek zwycięstw.

Najlepsi handicapperzy z branży zazwyczaj osiągają sukcesy w około 57% zakładów. Po uwzględnieniu marży bukmachera, przekłada się to na około 110% zwrot z inwestycji. Ten wykres ukazuje, że jeśli chcesz osiągać takie wyniki, musisz przygotować się na obstawienie nawet 1000 zakładów zanim uzyskasz głębokie przekonanie o swoich umiejętnościach. Oczywiście przy założeniu, że początkowo Twoja wiara we własne możliwości była niewielka.

Natomiast jeśli okaże się, że wygrasz mniej niż 54% zakładów z handicapem, to mimo że i tak przyniosły Ci zysk, uwierzenie we własne zdolności będzie wymagało trochę więcej czasu. Jeśli początkowe prawdopodobieństwo wysokich umiejętności bukmacherskich będzie w granicach 1%, to po 1000 zakładach wzrośnie do zaledwie 20%.

Ostatni wykres przedstawia podobny zestaw wyidealizowanych oczekiwanych wartości p w ramach tej samej historii 1000 zakładów oraz dziesięć identycznych hipotetycznych odsetków zwycięstw. Ponieważ możemy korzystać z danych dotyczących zwrotu z inwestycji, kursów i równania przybliżającego wynik t dla dowolnej liczby zakładów, symulacja Monte Carlo nie jest wymagana. Im ciemniejsze krzywe, tym wyższy hipotetyczny odsetek zwycięstw (między 51% a 60%).

Ocena umiejętności bukmacherskich

Jeśli odsetek wygranych wynosi 57%, poziom istotności statystycznej (wartość p < 5%) zostanie osiągnięty po zaledwie 200 zakładach, a jeszcze wyższy (wartość p < 1%) po około 335 zakładach. Informacja ta nie mówi nam jednak nic o poziomie naszych umiejętności bukmacherskich, a jedynie o przypadkowości danej historii zakładów przy jednoczesnym uwzględnieniu braku jakichkolwiek zdolności.

Co więcej, wspomniane poziomy istotności, takie jak wstępne prawdopodobieństwa Bayesa, opierają się na czymś więcej niż tylko subiektywnej ocenie. Jednak pomimo tych ograniczeń testy statystyczne wartości p, podobnie jak model Bayesa, powinny okazać się przydatne podczas oceny umiejętności gracza pod względem odnajdywania stałych oczekiwanych zysków.

Zarówno analiza Bayesa, jak i podejście częstościowe powinny uświadomić graczom, że wypracowanie stabilnych zysków jest długotrwałym procesem. Nigdy nie zakładaj, że kilka wygranych świadczy o Twoich kwalifikacjach.